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勾股定理的实质

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勾股定理的实质

勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。

据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明!

勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊。

1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边。这两个正方形全等,故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形,分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a^2+b^2=c^2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单,任何人都看得懂。

2.希腊方法:直接在直角三角形三边上画正方形,如图。

容易看出,

△ABA’ ≌△AA'C 。

过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是, S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到(请读者自己证明)。这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念:

⑴ 全等形的面积相等;

⑵ 一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法:

如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图,

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式,便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁。

1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话。

在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°。作CD⊥BC,垂足为D。则

△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA, ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我们发现,把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB(AD+BD),

而AD+BD=AB,

因此有 BC2+AC2=AB2,这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法:

设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC,

因为∠C=90°,所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

这一证法,看来正确,而且简单,实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

勾股定理
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(Pythagoras Theorem).

在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a²+b²=c²

据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容:周公问:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高答:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出九九八十一,故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘。得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”就是说,矩形以其对角相折所称的直角三角形,如果勾(短直角边)为3,股(长直角边)为4,那么弦(斜边)必定是5。从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。

在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法。

实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外,据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出:“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3、4、5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得证实。”不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题:“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现,在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股、勾、弦的数值,一共记载着15组勾股数。这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

勾股定理是几何学中的明珠,它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家、画家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。(※关于勾股定理的详细证明,由于证明过程较为繁杂,不予收录。)

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

如此等等。

【附录】

一、【《《周髀算经》·》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边长分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不假思索地回答道:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。
于是,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。

解:勾股定理的内容:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
a²+b²=c²
说明:我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例:如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c2= a2+b2=9+16=25
则说明斜边为5。

勾股定理
第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容,勾股定理是怎样得到的,从定理的证明过程中你得到了什么启示?练习:如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 1、在△ABC中,∠C =Rt∠. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = (2) 若a =5,c =13.则b = . (3) 若c =61,b =11.则a = . (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b = . (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm,BC 2 = cm2. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = cm. 5、已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC= ,DB=2cm ,则BC cm, AB= cm, AC= cm. 6、如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为_________。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________________________米。

8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是
A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
10、
二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法?
练习:
三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C= °。
2、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是( )
(A) 直角三角形 (B)锐角三角形
(B) (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1(n为正整数)则最大角等于_________度.
3、已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,求四边形ABCD的面积。

阅读材料:
三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理。因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分,将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra(826~901)已经知道。(如:右图)下面的一种证法,是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法,据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452~1519)设计的,用的是相减全等的证明法。

欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图。由于图形很美,有人称其为“修士的头巾”,也有人称其为“新娘的轿椅”,实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和“外星人”去交流。其证明的梗概是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理,(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗(Bhaskara,活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明。如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形;一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和。事实上,
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有
c/b=b/m,
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明,在十七世纪又由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新发现。
有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J.A.加菲尔德(Garfield, 1831~1888),他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年,(当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面积得

a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理,有许多巧妙的证法(据说有近400种),下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE。因为
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB

所以
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3(赵君卿图),用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4(梅文鼎图)。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明(从略),延长GF必过E;延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面,
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面,
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF的延长线必过D。延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面,
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)得
c2=a2+b2
杨作枚图;
何梦瑶图;
陈杰图;
华蘅芳图
都是用面积来进行验证:一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理)图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc

简述非营利组织在20世纪70年代后期的西方国家迅猛发展的原因

不定项选择题(至少有一选项是正确的,多选或少选均不得分;每小题2分,共30分)

1.衡量一个组织是否具有非营利性的指标主要有()。ABC

A.组织的宗旨是否以营利为目的

B.组织的利润是否用于成员间的分配和分红

C.组织的资产是否可以转变为私人财产

D.组织和政府的关系是否密切

2.非营利组织所体现出来的()等都可以减少交易成本,提高产品供给效率,促进经济发展。ABCD

A.互相信任B.团队精神

C.平等D.参与

3.公共物品所具有的()的特征使得市场提供公共物品是无效的。CD

A.不可再生性B.稀缺性

C.消费的非竞争性D.使用的非排他性

4.社会团体的业务主管单位职责包括()。ACD

A.社会团体的筹备申请、变更登记、注销登记前的审查

B.任命社会团体的领导人

C.指导社会团体依法并根据章程开展活动

D.负责年度检查的初审

5.下列关于非营利组织的登记管理机关的表述正确的是()。ACD

A.全国性的社会团体,由国务院的登记管理机关负责登记管理

B.跨行政区域的社会团体,由国务院的登记管理机关负责登记管理

C.地方性的社会团体,由所在地人民政府的登记管理机关负责登记管理

D.跨行政区域的社会团体,由所跨行政区域的共同上一级人民政府的登记管理机关负责登记管理。

6.下列关于非营利组织战略管理的特点的表述正确的是()。CD

A.非营利组织的战略目标强调公平,甚至为此牺牲利润和效率。

B.非营利组织的战略目标往往比较清晰,不会相互冲突。

C.非营利组织战略管理受环境条件约束,比如其资产的利用是否高效率、合理会受到相应的监督。

D.非营利组织的战略具有公开、透明的特点。

7.非营利组织战略规划的过程包括()。ABC

A.准备阶段B.确定组织的愿景与使命

C.战略分析和战略选择D.战略实施

8.按照战略评估主体来划分,非营利组织战略评估可划分为()。CD

A.事前评估B.事后评估

C.自我评估D.外部评估

9.非营利组织在办理各项事业支出时,既要保证组织目标和事业发展计划的需要,又要坚持勤俭节约、提高效益的一贯方针。为此,必须做到()。ABCD

A.坚持按照批准的预算和计划办理

B.坚持按照规定的定额和开支标准办理

C.坚持按照合法的原始凭证办理

D.坚持按照规定的资金渠道办理

10.非营利组织人力资源培训应遵循()。ABCD

A.学用一致的原则B.按需施教的原则

C.讲求实效的原则D.理论联系实际的原则

11.非营利组织人力资源培训内容侧重于()。ABD

A.使命感培训B.xx培训

C.权利感培训D.责任感培训

12.最为常用和积极的非营利组织志愿管理模式是()。ACD

A.监督工作模式B.指令工作模式

C.自主管理模式D.定期报告模式

13.非营利组织营销的核心包括()。ABCD

A.产品B.价格

C.推广D.渠道

14.非营利组织问责性的评估指标体系包括()。ABCD

A.是否有健全的理事会B.组织的相关信息是否透明

C.组织活动是否与组织的宗旨一致D.资金的使用与运作情况

15.当前我国非营利组织面临的主要问题是()。ABCD

A.公信度不足B.治理结构不完善

C.组织能力弱小D.效率低下

二、判断分析题(先判断对错,再说明理由,每小题5分,共10分)

1.在非营利组织中,有酬员工收入的分配与组织营利挂钩。()

理由:

2.在项目运作的过程中,项目管理者需对项目的实施情况进行跟踪监测,把握项目的实施情况和实际进展,并采用各种的控制方法,以保证项目计划预期目标的顺利实现。()理由:

三、简答题(每小题10分,共30分)

1.简述xx组织营销的趋势。

2.简述非营利组织人力资源管理的需要遵循的基本原则。3.在进行非营利组织项目管理的时候,应当遵循哪些原则?

四、论述题(15分)

结合所学知识,试阐述推动非营利组织产生和发展的主要因素。

五、案例分析(15分)

利用国际援助,推动脱贫致富

金寨县地处于鄂、豫、皖三省结合部,安徽省西部边缘山区,集老区、库区、山区于一体。总面积3814平方公里,山场面积426万亩,占总面积的80%。全县现辖28个乡镇,424个行政村,总人口61.4万人。“八山半水半分田,一分道路和庄园”正是全县的地理特征。

1983年被国务院列为全国重点扶贫的贫困县之后,中国国际经济技术交流中心和中国民促会为了帮助金寨县早日摆脱贫困,开发山区经济给予积极帮助。从1990年至1995年得到了德国米泽瑞组织、澳门天主教福利会援助资金元,地方配套资金元,安排六个项目。其中发展生产型项目4个,即面冲乡茶叶项目,燕子河乡(镇)妇女抽纱项目,汤山丝毯厂项目,花石乡牛羊养殖项目,投入资金.5元,其中外援资金.5元,地方配套资金元,卫生公益事业项目二个,即面冲乡饮水项目,长岭乡卫生院项目,投入资金.9元,其中,外援773169.9元,地方配套投入531000元。

援助项目受益6个乡镇,占全县28个乡镇的21.4%。直接受益户5109户,28099人,占全县总人口的4.6%,直接解决了5200个农村劳动力的就业问题,占全县农村劳动力的2%,接受各类技术培训7200人次,专业技术培训361人次,送到大专院校接受系统培训和深造48人,项目年直接经济效益1090万元,户均增收2133.5元,98.7%的直接受益户达到或超过了全县平均生活水平,甩掉了贫困帽子,走上了富裕之路。如90年实施的面冲乡茶叶项目,茶园面积发展到6350亩,是受援前的2.2倍,项目目标的1.51倍。茶农的茶叶单项收入由150元提高到1064元,增长了7.1倍,突破千元大关,并且已经形成了全县闻名的茶叶交易市场。大岗的饮水项目,帮助解决了112户,972名山区居民的吃水难问题,让他们吃上了清洁卫生的饮用水,特别是解决了300名小学生在校喝水难问题,为孩子们的健康成长提供了良好的保证。长岭乡卫生院项目,增加医疗用房,改善医疗设施,培训医疗技术,提高了技术水平,疾病死亡率由0.76%降低到0.38%,下降了3.8个千分点,转诊率由30%降低到11%。基本解决了全乡17665人的疾病医治问题,弘扬了人道主义精神。

经项目带动,全县已形成了茶叶生产和牛羊养殖二大支柱产业,产值、效益已占全县开发性农业的半壁河山。全县丝毯厂已发展到6家,从业妇女1400人,平均月收入在300元左右;燕子河地区抽纱妇女增加到4100余人,年产值近650万元。大大提高了妇女经济收入和社会地位。如面冲茶叶协会女会员霍前凤采用了大棚培植茶叶新技术,0.6亩茶叶,年亩产值都在15000元以上,成了全县有名的致富带头人。公益事业项目的实施,也为我县精神文明建设起到了促进和示范作用,如邻村村民看到了大岗村的居民饮上了清洁的卫生水,纷纷以此为榜样,选点挖井建水塔,铺管送水到万家,解决了灌溉与饮水。目前已建成水塔2处。长岭乡卫生院项目不仅解决了本乡农民看病难问题,而且,还为相邻二省三县五个乡镇的部分病人提供了医疗方便。

请结合以上案例,进行分析:

1.xx的成功说明什么?

2.如何加强与国际组织的合作?

xx广播电视大学开放教育行政管理本科

《xx组织管理》期末考试

模拟试题答案及评分标准

一、不定项选择题(至少有一选项是正确的,多选或少选均不得分;每小题2分,共30分)

1.ABC 2.ABCD 3.CD 4.ACD 5.ACD

6.CD 7.ABC 8.CD 9.ABCD 10.ABCD

11.ABD 12.ACD 13.ABCD 14.ABCD 15.ABCD

二、判断分析题(先判断对错,再说明理由,每小题5分,共10分)

1.错。在非营利组织中,有酬员工收入的分配不与组织营利挂钩,即使有营利也要用于事业扩大。

2.对。三、简答题(每小题10分,共30分)

1.简述xx组织营销的趋势。

答案要点:

随着非营利组织的自身发展和社会需求的多元化和复杂化,非营利组织的营销也出现了一些新的发展趋势。非营利组织需要关注这些趋势,并结合自身的内外部环境,适当调整营销策略。

(1)非营利组织多元化经营。它是指非营利组织为满足市场的需求,同时提供多种准公共产品或服务的经营方式。与营利组织不同,非营利组织多元化经营并不以获取投资的最高回报率为最终目的,而是以实现其社会使命和共同愿景为宗旨。因此,在实施多元化经营时,非营利组织更多地考虑的是其社会使命。非营利组织多元化经营受以下几个重要因素的影响:

顾客关注因素的多样化、顾客更重视服务品质的趋势、社会文化的多元化。

(4分)

(2)主动寻找企业合作伙伴。就目前来看,非营利组织营销受到来自营利部门的竞争压力越来越大。当企业之间的竞争使得企业的利润减少,精明的企业家纷纷转向和非营利组织合作,并展开竞争。面对这样的竞争局面,非营利组织和企业合作是一个双赢的选择。非营利组织通过企业,获得需要的资金和援助,加强了公众对问题的关注;企业可以通过参与非营利组织的活动实现更多的销售,打造一个更好的公众形象,增加知名度,获得许多公关机会,同时提高雇员的士气等等。(3分)

(3)确立与政府的新关系。政府是非营利组织的主要资源依赖主体之一。非营利组织本身为了弥补“志愿失灵”,必须与政府和其他经济组织相互合作,取长补短,因此在这个过程中形成了非营利组织与政府的新关系。(3分)

2.简述非营利组织人力资源管理的需要遵循的基本原则。

答案要点:

非营利组织人力资源管理的需要遵循的基本原则包括:

(1)人事相宜原则;

(2)德才兼备原则;

(3)开发与使用并重原则;

(4)激励强化原则;

(5)共同发展原则。(以上各要点2分)

3.在进行非营利组织项目管理的时候,应当遵循哪些原则?

答案要点:

在进行非营利组织项目管理的时候,应当遵循的原则包括:

(1)紧扣非营利组织本身的宗旨。(3分)

(2)重视项目的申请环节。(3分)

(3)坚持非营利组织项目管理的可持续性。(2分)

(4)注重项目运作效率。(2分)

四、论述题(共15分)

结合所学知识,试阐述推动非营利组织产生和发展的主要因素。

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勾股定理

(图在下面的连接)三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理。因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分,将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra(826~901)已经知道。(如:右图)下面的一种证法,是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法,据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452~1519)设计的,用的是相减全等的证明法。

欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图。由于图形很美,有人称其为“修士的头巾”,也有人称其为“新娘的轿椅”,实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和“外星人”去交流。其证明的梗概是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理,(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗(Bhaskara,活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明。如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形;一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和。事实上,
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有
c/b=b/m,
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明,在十七世纪又由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J.A.加菲尔德(Garfield, 1831~1888),他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年,(当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面积得

a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理,有许多巧妙的证法(据说有近400种),下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE。因为
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3(赵君卿图),用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4(梅文鼎图)。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明(从略),延长GF必过E;延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面,
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面,
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF的延长线必过D。延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面,
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出论证

都是用面积来进行验证:一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理)图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc

勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a) 2 。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化简后便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”:http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”:http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载:"禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也。"这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.

以上就是小编对于问题和相关问题的解答了,希望对你有用

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